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【そいる塾長からの挑戦状】2020年お年玉クイズの結果発表!

進学塾soilができるまで
そいる塾長
そいる塾長

どうも、そいる塾長です。

今日は会員の方向けに新年のご挨拶LINEをさせていただいた際についでに出した「お年玉クイズ」の正解を発表したいと思います。

さて、全問正解者は出たのか!?

2020年進学塾SOILのお年玉クイズ

下にスクロールしていただくと解答・解説です。

解いてみたい方は最初に問題を載せておくので下の方は見ないように注意してください。

問題自体はネットから拾ってきた有名なものばかりですが、全て論理クイズになっておりまして、できる限り「数学」などの普段の勉強につながるようなものをセレクトしました。

問題の答えよりもSOIL生たちには、こういう問題とどう向き合うかということを学んでもらいたいなとそいる塾長的には思うわけです。ということで最後に大切なことを書いておりますのでぜひ最後まで!

第1問:「湖の睡蓮」問題

瓶の中で菌を培養します。その菌は1分経つと2倍に増えます。
瓶が菌でいっぱいになるのに48分かかります。
では、菌が瓶のちょうど半分になるのに何分かかるでしょう?

有名な”蓮の花”の問題。ちょうどTwitterで蓮の花を菌に変えた問題が流れて来たので、そのまま拝借して理科っぽいこちらを出題。間違えやすいですが、数学で言えば基本問題です。

第2問:「2つの国の機械」問題

どんな質問に対しても「はい」「いいえ」で正しく答える機械がある。

この機械は緑か赤のライトを点灯させて「はい」「いいえ」を表現する。

一方の色が「はい」、もう一方の色が「いいえ」を表す。

A国とB国がこの機械をつくった。

一方の国でつくられた機械は、緑が「はい」、赤が「いいえ」を表す。
もう一方の国でつくられた機械は、緑が「いいえ」、赤が「はい」を表す。

ただし、緑が「はい」を示す機械がA国製なのかB国製なのかは分かっていない。

いま、あなたの目の前に1台の機械がある。
あなたはそれがABどちらの国でつくられたのかを知りたい。

「はい」「いいえ」で答えられる質問を1回だけ機械にすることができる。

どんな質問をすればいい?

この問題もクラシックですね。同じ論理構成で登場するのが嘘つきと正直者だったり、天使と悪魔だったり色んなバージョンを耳にしたことがあります。これぞ「論理的思考」と思える良問です。

第3問:シュレディンガーの猫

1〜5の番号が書かれた5つの箱がある。箱は1,2,3,4,5の順で一列に並んでいる。

ネコはこの箱のどれか1つに隠れており、夜になると必ずひとつだけ隣の箱に移動する。

朝になった時、あなたは1つだけ箱を調べて、そこにネコがいるかどうか確認できる。

さて、いつかどうすれば確実にあなたはネコを見つけられるか説明してください」

「シュレディンガーの猫」と呼ばれる思考実験からその論理だけを抽出しとってもわかりやすくしたような論理クイズでとっても好きな問題です。解答方法が難しいので、本来こういうクイズには向いていないですが、どうしてもこういうのを生徒に説明してほしかったのでお許しを。


解説編

第1問:「湖の睡蓮」問題

瓶の中で菌を培養します。その菌は1分経つと2倍に増えます。
瓶が菌でいっぱいになるのに48分かかります。
では、菌が瓶のちょうど半分になるのに何分かかるでしょう?

”24分”とだけは答えてほしくない問題ですね^^;

1分で菌の数は2倍になるので…

最初からいる菌の数×2×2×2×2×・・・・

というふうに増えていきます。

で、48分でいっぱいになるということは、×2を48回したということです。

ではその半分はというと、÷2をすればいい。

満タンになった状態から1分戻すと×2を1回分キャンセル、つまり÷2をすることになります。

ということで正解は「いっぱい」になる1分前の”47分”です。

指数計算がイメージからしっかり定着しないと24分なんて答えてしまいがち。中学数学では絶対にマスターしたい考え方ですね。

正解:「47分」

第2問:「2つの国の機械」問題

どんな質問に対しても「はい」「いいえ」で正しく答える機械がある。

この機械は緑か赤のライトを点灯させて「はい」「いいえ」を表現する。

一方の色が「はい」、もう一方の色が「いいえ」を表す。

A国とB国がこの機械をつくった。

一方の国でつくられた機械は、緑が「はい」、赤が「いいえ」を表す。
もう一方の国でつくられた機械は、緑が「いいえ」、赤が「はい」を表す。

ただし、緑が「はい」を示す機械がA国製なのかB国製なのかは分かっていない。

いま、あなたの目の前に1台の機械がある。
あなたはそれがABどちらの国でつくられたのかを知りたい。

「はい」「いいえ」で答えられる質問を1回だけ機械にすることができる。

どんな質問をすればいい?

この問題の難しさは、不確定要素が二つあるところ。

  1. 目の前にある機械がA国製かB国製かわからない
  2. どちらの機械が緑のランプで「はい」を示すかわからない

なので質問はそもそもこの二つの要素を同時に明らかにするような内容にしないといけません。

あなた(目の前の機械)はA国製ですか?
このような質問では1番目の要素を確定させることはできても2番目の要素が不確定なため答えはでません。例えば目の前のランプが緑に光ったとしてそれが「はい」を示すのか、「いいえ」を示すのか分からないので結局答えはわからないということです。
これが不確定要素が2つ以上ある場合の難しさです。
ということで質問は二つの不確定要素を同時に確定させる質問にする必要があります。
正解:A国製の機械は、緑のライトが「はい」を表すか?
こちらが正解になります。ではどのようにしてこの解答にたどり着けばいいか考えてみましょう。

ここで必要になるのは数学でもよく使う「場合分け」の考え方。

場合分けのポイントは一つの条件を固定して分枝させながら考えるということ
ということで今回は1番目の不確定要素(=「目の前にある機械がA国製かB国製かわからない」)を”固定”するために、質問内容をまず「A国製の機械は…」から始めます。(もちろん「B国製の機械は…」でもOKです)
これにより目の前の機械がどちらの国の製品でも関係なくA国についての情報が得られることになります。
次に2番目の不確定要素(=「どちらの機械が緑のランプで「はい」を示すかわからない」)を確定させるため、質問内容を「緑のランプが「はい」を示すか?」と聞きます。
こうすることで、目の前にある機械がA国製かB国製かは関係なくなります。ここがややこしいのでさらに場合分けをしながら考えてみましょう。

目の前の機械が緑のランプを点灯した場合

  1. 緑のライトが「はい」を表す場合:この場合、『A国の機械は緑のライトが「はい」を表す』ということが確定します。なぜなら、もしも目の前の機械がB国製であるならば、『緑のライトが「はい」を表す』と条件を固定しているので、B国製の機械が緑を点灯する=「はい」と答えたとなると、A国製もB国製も両方「はい」を緑で表す(条件に矛盾する)ことになるからです。よって、今緑のランプを点灯し、「はい」と答えたと考えるならば目の前の機械はA国製ということが確定できます。
  2. 緑のライトが「いいえ」を表す場合:この場合に確定するのは『A国の機械は緑のライトが「いいえ」を表す』ということ。いま目の前の機械は緑のライトを点灯させて「いいえ」と言っているので、「はい」の場合と同じ論理で、目の前の機械がB国製だとすると、緑=「いいえ」とこたえたということは「A国製の機械は緑で「いいえ」を表す」と言っていることになり、A国製の機械もB国製の機械も両方「いいえ」を緑で表すことになってしまいます。これでは条件に矛盾する結果となるため、目の前の機械はA国製ということが分かります。

以上より、質問に対して機械が緑のライトを点灯させた時、ライトの表す意味が「はい」「いいえ」のどちらであってもその機械はA国製ということが決定します。

目の前の機械が赤のランプを点灯した場合

上記「目の前の機械が緑のランプを点灯した場合」と同じ論理構成なので一応簡単に書いておきます。

  1. 赤のライトが「はい」を表す場合:『A国の機械は緑のライトが「はい」を表す』ということが確定します。なぜならば、もしも目の前の機械がA国製であるならば、『赤のライトが「はい」を表す』と条件を固定しているので、A国製の機械が「A国製の機械は「はい」を緑で表すか」という質問に赤で「はい」と答えるとなると矛盾してしまいます。よって、今目の前の機械はB国製ということが確定できます。
  2. 赤のライトが「いいえ」を表す場合:この場合に確定するのは『A国の機械は緑のライトが「いいえ」を表す』ということ。いま目の前の機械は赤のライトを点灯させて「いいえ」と言っているので、「はい」の場合と同じ論理で、目の前の機械がA国製だと仮定すると、A国製の機械が「はい」を緑で表すか?=「いいえ」を赤で表すか?」という質問に赤=「いいえ」と答えてしまっては矛盾してしまいますね。よって目の前の機械はB国製ということが確定できます。
以上より、質問に対して機械が赤のライトを点灯させた時、ライトの表す意味が「はい」「いいえ」のどちらであっても目の前にあるその機械はB国製ということが決定します。

このように複雑な条件を論理的に考えるには、条件を固定してそこから分枝していって、シンプルにひとつひとつ思考していくことが重要です。

第3問:シュレディンガーの猫

1〜5の番号が書かれた5つの箱がある。箱は1,2,3,4,5の順で一列に並んでいる。

ネコはこの箱のどれか1つに隠れており、夜になると必ずひとつだけ隣の箱に移動する。

朝になった時、あなたは1つだけ箱を調べて、そこにネコがいるかどうか確認できる。

さて、いつかどうすれば確実にあなたはネコを見つけられるか説明してください」

では最後の問題。この問題は、GoogleやMicrosoftといった世界的IT企業の就職採用面接の時にも使われているとか。当然一筋縄ではいきませんよ^^;
先ほどの第2問と同じようにしっかり場合分けをしないと”最適な行動”はとれません。
”最適な行動”というのは問題文にある「確実に」のところがポイント。たまたま発見できるということではなく確率的に100%発見できる方法を考えてくださいということです。
さて、ではこの問題も「場合分け」をしながら複雑な条件をシンプルにひとつずつ潰していきましょう。
こういった条件が複雑な問題に対してぜひ生徒たちにやって欲しい方法があります。それが…
とりあえず頭と手を動かして色々やってみる=”実験”してみるということ
これは数学でも同じ。とにかくいろんなパターンを考えてみる。そこから規則性も見つけていくわけです。そうすると適切な「場合分け」も見えてきてシンプルに問題をとらえることができるようになります。
今回難しいのがこちら。
  1. 猫は”最初”どこにいるか分からない。
  2. 猫は毎日ひとつ隣の箱に移動する
この2点。ですのでここで条件を絞る必要があります。
最初に注目すべきは猫は”ひとつ隣の箱に移動する”ということ。”ひとつ隣”という限定がかかっているのでここをとっかかりに攻めていきましょう。
となると場合分けする、つまり固定したい条件は1の猫の最初の位置。ということで実験開始。
1~5の箱まで可能性がありますが、例えば最初1にいると仮定しましょう。すると次の日は必ず2に移動しますね。しかし3日目は1に戻るか3に移動する可能性が出てきます。
はい、条件が複雑になってきました^^;
しかしこうやって色々試してみていると気が付きませんか?移動先の箱のナンバーを見ていると一見複雑そうですが、そこには規則があるのです。
奇数スタート⇒偶数⇒奇数⇒偶数⇒奇数⇒・・・
偶数スタート⇒奇数⇒偶数⇒奇数⇒偶数⇒・・・
この規則性に気が付けば、場合分けすべきは「スタート位置が偶数か奇数か」であることに気が付けます。
ということでこの条件で場合分けしてみましょう。

最初、偶数の箱に猫がいると仮定した場合

ここで「2」か「4」を調べる場合、問題条件から箱の並び方には左右の対称性があるのでどちらも同じ思考過程で処理できます。ですのでどちらかに決めて考えていきましょう。

1日目:「2」の箱を調べるところからスタート(「4」にしても同じ)

  1. 「2」にネコがいる場合、ここで終了。
  2. 「2」にネコがいない場合、発見できませんが「4」にネコが隠れていることになります。

2日目:「3」の箱を調べる。

  1. ネコが「4」から「3」に移動した場合ここで発見できます。
  2. しかしネコが「4」から「5」に移動した場合ネコは見つかりません。

3日目:「4」の箱を調べる。

  • ここで必ず猫は「4」の箱にいるので発見できます。

つまりネコが1日目に「2」「4」の箱に隠れている場合、「2」→「3」→「4」
の順で箱を調べることで、遅くとも3日目には”確実に”ネコを発見できる。

最初、奇数の箱に猫がいると仮定した場合

奇数の場合、「1」と「5」は対称の位置なので先ほどのように同じ考え方ができますが「3」は真ん中にあるため別の考え方が必要になります。つまりここではさらなる場合分けが必要ということです。

…ん?待てよと。

よく考えてみると最初が「1」「3」「5」ならば2日目には必ず偶数の「2」「4」にいるはずですね。となるとそこからは先ほどの「最初、偶数の箱に猫がいると仮定した場合」と同じになってしまいますよね。ということで実は簡単です(#^^#)

ということで最初に先ほどの「最初、偶数の箱に猫がいると仮定した場合」で調査をスタートし、3日目「4」の箱に猫がいなかった場合、最初の前提(最初、偶数の箱に猫がいる)が間違っていたということになるので、その時点で「最初、奇数の箱に猫がいた」、そして3日目も「奇数の箱にいる」ということが判明します。

ということで4日目は必ず偶数の箱にいることになるので、ここから再度先ほどの「最初、偶数の箱に猫がいると仮定した場合」と同じ過程で調べてみると…

4日目:「2」の箱を調べるところからスタート(「4」にしても同じ)

  1. 「2」にネコがいる場合、ここで終了。
  2. 「2」にネコがいない場合、発見できませんが「4」にネコが隠れていることになります。

5日目:「3」の箱を調べる。

  1. ネコが「4」から「3」に移動した場合ここで発見できます。
  2. しかしネコが「4」から「5」に移動した場合ネコは見つかりません。

6日目:「4」の箱を調べる。

  • ここで必ず猫は「4」の箱にいるので発見できます。

つまり…

正解:遅くとも6日目には”確実に”ネコを発見できる
ということになります。
まとめますと「2」→「3」→「4」→「2」→「3」→「4」と調べていけば”確実に”猫を6日以内に見つけることができます。
もちろん箱の並び方の対称性から次の方法でも同じ結果が得られます。
「2」→「3」→「4」→「4」→「3」→「2」
「4」→「3」→「2」→「2」→「3」→「4」
「4」→「3」→「2」→「4」→「3」→「2」
もちろん1日目に猫が奇数の箱にいると仮定してスタートすることも可能ですが、その場合、「場合分け」がとても複雑になります。ということは調べなければいけない手数も増えますね。”確実に”の言葉からもっとも早く見つける方法となるとより場合分けの少ない=条件が単純(シンプル)な偶数の箱から調べようと考えることが大切ですね。

最後に

さて、みなさん正解できたでしょうか?この問題は生徒・保護者用の両公式LINEで会員の皆さんに送信しました。

たくさんの生徒が返信してくれましたが第3問がやはり難しかったようですね^^;

ぜひこの解説を読んで(別に私に直接聞いてくれたらいいのですが…^^;)特に伝えたかった場合分けを用いての論理的思考をこれからの数学の勉強などのためにも意識してもらえれば幸いです。

問題は…

こういう問題を「なんか難しそう」といって考えることすらしなかった人たち。第3問は世界的IT企業の採用試験の問題だそうですが、世界のトップで活躍するような人材はこういうのをしっかり考えて答えを出していくわけです。

答えが出せることが大切というより、「考えてみる」という姿勢が大切なんです。

勉強というものは教えてもらったことを忠実に再現することが最終目標ではありません。自らの知識を組み合わせ、目の前の複雑で難しい問題(※テキストに書いてある”問題”という意味ではなく)に取り組んでいき、自分なりの答えを出していく姿勢。それこそが現在求められている能力なのです。

  • 自分で考える。
  • とにかくやってみる(実験してみる)。
  • 一般化してみる。
  • 粘り強く考える

こういったことを学生時代に練習してこなかった人が就職試験のときに”対策”なんてしても…

「無駄」の画像検索結果

何のために勉強しているのか。ちゃんと考えながら勉強していってほしいなと思っております。

ということで2020年も、進学塾SOILの教育理念である「考える力」をしっかり身に着けていきましょう。

最後に思考実験系が好きな方にはこちらの記事を。

そういや全問正解した人いたかな…(ちゃんと確認してなかった…

もしいたら「お年玉」クイズだけにお年玉あげなきゃね。上の記事で紹介した本でもプレゼントしようかなと。いたらですが^^;

今日はこのへんで。

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