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【そいる塾長の種まき勉強法】もうすでに数学で悶え苦しむみなさんへ愛を込めて

そいる塾長の種まき勉強法
そいる塾長
そいる塾長

どうも、そいる塾長です。

前のブログから移行した過去記事を漁っていたところ、自分で書いた覚えの全く無い記事が出てきました。ちょうどそのタイミングでご質問を頂いたのでそちらの記事を大幅リニューアルしてみました。書いた記憶が無いのでもしかしたら下書きのまま眠っていた記事かもしれません。決してサボっているわけではありませんよ(笑)内容から本来は夏に出すべき記事だったかなと思われますが質問にお答えするのには良いかと思いますのでお許しを。

ご質問ありがとうございます。

良い塾があれば通われるのも一手かなと。塾選びはこの辺を。シリーズになってますのでカテゴリー「保護者さんへの手紙」から御覧ください。中学生向けなのでちょっと違うかもですが(^_^;)

塾選びのポイント(1)子どもと相性の良い塾の見つけ方
本当に良い塾は塾の先生が一番よくわかっているのかもしれません。ということで失敗しない塾選びのポイントを超絶詳しく教えます。今回は第1弾!

ということで今回はガッツリ数学が苦手な方向けの数学の勉強法と、なによりその心構えについて書いてみたいと思います。

 

数学で悶苦しむみなさんへ愛を込めて

 

早いもので、季節はすっかり秋。もはや高校数学をあきらめた人いませんか?(笑)

高校数学で躓く理由の一つが関数の「場合分け」ではないでしょうか。

例えばこういう問題。

今回は問題の解説をしようというわけではありません。そんなのは…

高校数学 二次関数 場合分け
検索

で検索すれば死ぬほど解説動画が出てくるはずです(笑)

でも今数学ができなくなっているのは、「場合分け」がどうのこうの「絶対値」がどうのこうの…と言う以前の問題ではないかと。それは高校までに染み付いた間違った数学への学習態度が原因だと思います。だからきっとYouTubeで解説動画見ても理解できないのではないでしょうか?
いや理解はしても結局後から自分で解けないんじゃないですか?
これはなんなら数学の話だけではとどまらないかもしれない大切なお話です。

 

なんでグラフを書かないの?

いや、もちろんグラフを書かないのではなく、「書けない」人がいるのは理解できます。でも書けない人は場合分けとかする前にまずグラフを書けるようにならにゃあ始まらない。

しかし決まって質問に来る子はグラフを書いていない状態で来る。

グラフを書かない理由を尋ねると、次の2パターンの返事が。

パターン1
高校生
高校生

え?書かないとダメなんですか?

このパターンはグラフを書くのはあくまで解答の手続き上必要だからくらいにしか考えていないタイプ。つまり先生が書けというから書くタイプですね。なんでグラフを書けと言われているのかは理解していないわけです。

 

パターン2
JK
JK

書けないんですけど?

そもそもグラフが書けないという子。この場合はもう場合に分ける前にやることがある訳です。

質問の対応としては場合の分け方を教えるのではなくそもそも関数とはなんだというところから教え直す必要が出てきます。

グラフを書くことさえできれば、どこで場合分けをするのかがビジュアルで捉えられる(はず)

頭で処理しきれないなら、グラフを書くことで場合分けする処理の頭でイメージしなければいけない部分をアウトプットしてしまって脳のリソースを空ければ良い。

当然頭で処理できる人はいるのですが、こればっかりは脳のメモリがでかい人と小さい人ではかなり違うと思うんです。生まれ持ったものもあるかもしれませんが、やはりここまでの訓練の差は大きいでしょう。

そんなメモリが小さな人が学習の初期段階で、グラフを書かずに頭の中でどうやって場合分けしたらいいか考えようとしたり、間違っても場合分けのパターンを暗記しようとするのは間違っているというわけです。

グラフを書くことで「ここで変わる!」というのを見抜けるようになることこそが、場合分けを理解するということです。

グラフは思考の補助。思考をアウトプットするとでもいいましょうか。できない人ほどこの”補助”を使わないといつまでたっても思考がごっちゃごちゃになってショートしてしまう。

これは単に問題を楽に解けるからという意味だけではなく、自分の思考をトレースするためにも有用です。

数学や国語の勉強法って実は私も書くのが苦手。得意科目だったのに苦手科目だった英語や社会の方がまだ書きやすい。得意不得意は関係なく科目としての特徴なのかもしれません。

自分の頭の中の動きを言語化(アウトプット)するのが難しいのです。だから自分で勉強しているときも何が分かっていて何が分かっていないのかを理解すること自体難しい。

国語や数学の質問を受けるとき、真っ白なノート(なんの思考の痕跡も残っていないもの)を持ってこられても困ります。もちろんそれを探るために会話して指導していくのですが、毎回そんなことをしていたらハッキリ言って時間がたりない。なにか思考をアウトプットしておいてくれるとそれを読み取ることで解説に必要なことが見えてくるわけです。

だからこそ、そういったやり取りのなかで自分がどういう考えをしたのか自分自身ででトレースし、それをアウトプットできるような訓練が大切になってきます。当然これが自分での勉強の際に重要になるのは言うまでもありません。

 

解答はすぐに見ちゃダメ?

自分で勉強しているときにある問題に行き詰まったとしましょう。

そのときどうリアクションするか。

解答を見る?それとももっと自分で考える?

すぐに解答を見ると考えるクセがつかないというのはよく言われることです。しかし何も頭が動いていない状態、つまりフリーズ状態で問題と何時間もにらめっこしているのも問題です。

そのせいで学校の課題が終わらず睡眠不足に。結果授業中に居眠り、また家に帰ってフリーズという悪循環に陥った生徒もいました。

私的には解答を見るかどうかは「場合による」というのが結論です。しかし解答の見方、見たあとのリアクションには気をつけて下さい。

例えば最初の一手がわからなくてフリーズした場合。全く手が出ないといった場合ですね。このとき解答を見るとしてなんでわざわざ最後まで解答見て赤で答えを写す必要があるのでしょう?

こんなのは小学・中学の間にぜひ習慣化しておいて欲しい勉強の基礎です。(このことは「解答を使う勉強法」というタイトルで今後ぜひ中学生向けに書きたい内容ですね)

しかしこれをやる高校生は非常に多い。おそらく彼らは数学の解答を最初から最後まで一つの塊のように考えているのでしょう。つまり答えを丸暗記するというのはこの塊を暗記するということだと思います。

数学がある程度できる子なら一つの解答はそれこそフローチャートのように流れで読むはず。

例えば最初の一手がわからないなら解答の最初だけ見て最初の一行だけをノートに写してみる。そしてそれを見ながらなんでその式が出てくるか考える。それが分かれば残りは自分で解いてみる。

それともその式の意味が理解できないとかその続きがどうすればよいのかわからなければ、解答の次のフェーズを読めば良いわけです。何も最後まで見る必要はない。

自分の理解しているところと理解できていないところの仕分け。そして理解できていないところの分析に解答を使う。

で、解説にどこで躓いてどこは自分で出来たのかを書き込めば良いわけです。

解説読んでもわからないと言う子もいます。質問に来て「なんでこの式が出てくるんですか?」となるわけです。その場合教えてもらった内容は解答に書きこんでました。着眼点とかですね。

そうすれば2周目やる際にはその書き込んだ解説を見て1周目からどこがどう改善されたか一目瞭然。つまり1周目の自分の思考をトレースしやすいように、解説にそのときの自分の思考をできる限りアウトプットしておきます。

解説は正しい思考の流れのお手本。そのお手本通りに思考していけば思考の型のようなものを習得することができます。ただ紙面の都合上、学校の指定教材なんかは苦手な人からすればかなり飛んでる。その行間を埋めるように思考する必要はあります。

もちろん解説通りでなく解答までたどり着いたならそれで良いです。解説どおりにする必要は全く無いです。

ただその場合もしかすると論理の飛躍があったり、抜けている部分なんかがあるかもしれませんので、偶々正解にたどり着いてしまった可能性はあります。その辺はチェックすべき。自分ではんだんできなければ学校の先生には確認したほうが確実かもしれません。

こうやってしっかり考えて練習をしていくと最終的には何も書かなくても解けるようになります。

それはなぜか?

 

数学の勉強は手順の暗記ではない

もちろん場合分けに限った話でもなく、あくまでどんな思考をするかによるわけですが、メモリーが足りないならお絵かきなりなんなりアウトプットして情報を整理するというのが数学が苦手な人には必要だというお話でした。

その過程で情報整理を頭の中でやっていけるようにしていく感じでしょうか。

なんか数学が苦手な子の質問て、結局どう「覚え」たらいいですか?って感じなんですよね。

思考しようとする姿勢がない。パターン教えてください的な。「みはじ」病とでもいいましょうか。覚えたパターン(公式)に数字放り込むのが数学みたいな。

みはじについての私の考えはこないだ書いたのでこちらをどうぞ。

そいる塾長の種まき勉強法「数学へとつながる算数のお話をしよう」
そいる塾長 どうも、そいる塾長です。 勉強法のカテゴリーに入れてますがほぼ指導理念のお話です。完全に保護者様向けですのでその辺予めご了承下さい。 ...

この記事を読んでいただくとおわかりいただけるかとは思うのですが、結局算数の時代から脈々と受け継がれてきた負の遺産がごまかしきれなくて噴出するのがこの高1の夏だと思うのです。

残念ながら、最小値だけ聞かれたときは3パターンで、最大・最小を尋ねられたときは5パターンで・・・みたいなのは覚えるのではありません。

あくまで結果的に覚えてしまうものでなければなりません。ん?んん!?

なんや、結局おぼえるんやん!?と思う方は今後ますます数学がやばくなること間違いなし(笑)

 

数学は暗記科目!?

数学は暗記科目だ!という偉い先生がいるとしましょう。(実際私もこのセリフを何度も聞いたことがあります。)

暗記と最も対局に位置する科目であるはずの数学でなんでこんなことを偉い先生が言うのか。先生や勉強ができる人の使う「暗記」という言葉をしっかりと理解する必要があります。

あくまでどの科目もそうなのですが理解を伴わない文字列を暗記したところでその知識は全く使いこなせないのであれば意味がない。

実際中学受験の算数を指導していると3つの層に分かれます。

その1:何もおぼえていない(記憶喪失)

要は頭に何も残っていない子ですね。勉強していないということ。ま、これはおいておきましょう。

その2:先生にそのやり方で解けと言われたからやっている

○○算や面積図を使うような解き方をただ先生に言われたやり方としてやっているだけ。これは一つの壁だと思っています。有名私大附属校レベルか東大京大医学部バンバン輩出の有名私立中学かを分ける壁。

これを私は丸暗記の壁と読んでおります。

その3:理解しちゃって感覚まで落とし込んでいる層

壁の向こう側です。感覚として”なぜ”それをやるのかを理解している。

 

算数はもとより数学では言うまでもない。

例えば今回の場合分けの問題レベルなら、私はグラフを書かずに解ける。正直もう感覚のレベルまではいっている。なんなら最初から最後まで目を瞑っていても解説できるわけです。嘘です(笑)

何を暗記しているかというと解答以外の「すべて」。解きすぎて暗記してしまっているのです。でも「すべて」というのは解答を写真のようにぱっと再現できるというわけではありません。

0から一つずつ頭のなかで組み立て上げて再現できるということですかね。つまり自分の解くときの思考を完璧トレースできる。ゴールが見えているというよりも確実にゴールにたどり着く道が見えている感じ。

だからこれは解答とそこへたどり着く手順を塊として暗記した、つまりゴールを暗記するのとは全くの別物です。

初学者のみなさんがここに至るまでには正しい思考のプロセスが必要。そしてそのプロセスをちゃんとトレースできるような勉強法を身につけることこそが数学の苦手克服の道だと思います。そこを理解することこそが数学に対する苦手意識を乗り越える第1歩になると思うのです。

 

手順は暗記しているかではなく説明ができるか

この関数の問題のように5つの場合分けをするのであれば、5パターンのグラフがまず描けることが大切になりますよね。

当然それは「お絵かき」自体を覚えるのではなく、場合を分ける変化を読み取って絵を書かなければいけません。

できない子の思考は「5パターン」「5つのグラフを覚える」となってしまいます。

ですがそれを「なぜ」その5パターンになるか説明できますか?

それが出来ないならばただ暗記しただけだと考えてよいのではないでしょうか。理解しているか自分でわからないのが数学。一番簡単な確認方法は自分で自分に説明するセルフティーチングです。

 

なぜそうなるのか。ではそうするとどうなるのか。

いちいち「なぜ?」と自分で自分に突っ込んで下さい。

「なぜ?」と尋ね、自分でそれを説明していくなかで、対話しながら思考プロセスをアウトプットしていきましょう。毎回すべての手順、いや思考を端折らずに。そうすることで「分かっているつもり」が浮き彫りになります。

それをして初めて手順が手順でなくなります。手順の「意味」が理解できるとでもいいましょうか。つまり考えたらオートで次が出てくるようになるので、手順という説明書を見ながら解かなくても良い状態になるということです。つまりグラフを書く意味を理解するということですね。

当たり前の領域(=感覚の領域)に達するとでもいいましょうか。

ちょっと違うかもしれませんが、今高校生で因数分解するときに、中3の春のように困っている人はさすがにいないですよね。

それは何故かと言うと、それ以来あまりに因数分解をしすぎた上でもはや乗法公式など頭に浮かべることなくできてしまうわけです。

しかしここで正しい理解を伴わずに手順の丸暗記で来てしまった子は、おそらく1年(半年かも)くらい因数分解をしなけえば確実に忘れてしまいできなくなりますし、なによりすぐに引っ掛け問題(思考問題ともいう)でやられてしまうわけです。

結論から言えば、数学の解き方なんて覚えようとせんでもやっているうちに覚えるもんでなければいけないと思うのです。公式や定理も同じかなと。導出できたから何だよと思うこともありましたが、それでも私にとって公式の導出は忘れたときのためではないんですよね。

例えば2次方程式の解の公式。

あれを暗記した直後の生徒に、こんな問題を出すと解けないと言い出す子がいます。

問題:次の方程式を解きなさい。

ax2+bx+c=0 

私がいう公式の暗記というのはこれが解けないが公式は書ける状態のことです。

なおなんでこんな簡単な問題を聞いてくるの?みたいな感じで答えられるのを理解していると呼びます。

私自身学生時代はあまり頻繁につかわないマニアックなものなら理解もせずおぼえちゃえってやったこともありましたけど。

どちらかというと、公式の導出はその公式を理解していない気がして気持ち悪いからやっているだけで。なんでそれ使うの?ってところが導出しておかないと気持ち悪い事が多かったんですよ。

それにその辺まで分かっておいたほうが問題を読んだときに見えるものが増える感じがするかなと。あくまで自己満足の部分はありましたが。

結局センター試験なんかで公式を忘れるなんて、サッカーW杯決勝で手でボール触っちゃダメっていうことを忘れていくようなもん(笑)

まず忘れないようにしましょう。ていうかちゃんと練習してたら忘れません(笑)練習が足りないだけ。練習してたら気づきますよ。

だからこそチャート式何周しろみたいなのはどうなのかなと。

こういうと「あ、先生が1回解くだけで良いって言った。」みたいにズラしてくる子がいるので困るんですが(^_^;)、何周するかどうでも良くてたとえ一周でも全部自分で説明できるようにしたらいいだけのこと。

それが出来ないから2周目をやる訳です。そこを意識しなければ無意味な作業をしているだけですよ。

 

面倒くさない?

数学が苦手だという人、もうすでに高校数学でしんどくなっている人は次の2点を考えて見てください。

これは理科や、英語、国語でも同じ大切なことです。

①まずはちゃんと思考のプロセスをすべてアウトプットしてみる。
②その手順を端折らず何度も反復練習して感覚の領域まで高速化

①に関しては中学の勉強の時点で、自分が本当に「分かっている」のか「分かっていないのか」が理解できない人には辛い。

類題になると解けないなら抜本的に見直すしかない。一番簡単なのは外部の目を入れることです。

でも結局数学ができない人は②をやってないんですよね。特にテストになるとできない、なんていう人は確実に②ができていない。

これはやっぱり学習時間が足りないんですよ。

サクシードや4ステップを解説の助けを得ながら1周したくらいでできるわけがない。何度も何度も反復し、かつ自分の中で手順をしっかりと確立してください。

ここで大切なポイントは先程書いたように回数じゃないですよ。作業はしちゃダメ、絶対!

 

うまくサボれ!

この反復にこそ数学強者と弱者を分ける大きな違いがあります。作業かどうかというのに大きく関係するポイント。

文系の人なんかは特になんですが、いつまでたってもサボることをしない。自分に数学のセンスがないという自覚からか、なんかバカまじめに数学に取り組む。ただそれが作業になりがち。真面目な作業員ですね(^_^;)真面目に取り組むのはもちろん大切ですが、テストで点数取れなきゃ意味がない。

なんかこのレベルの人は、問題が解ければ良いと思っている。大切なのはいかに速く解くかです。言い換えれば「楽」して解くかです。それだけで問題演習、つまりサクシードや4ステップのような問題集を周回するスピードが上がる。

バカ真面目に時間だけかけてしまって反復ができない人いますよね。

例えばこの場合分けの問題がもう完璧に解けるようになったっていうタイミングはどこですか?

初めて完答したときですか?10分位かけて正解したときですか?それとも問題見た瞬間最後まで見えてしまうようになったときですか?

いますやん。グラフをいつまでたってもバカ丁寧に書く人。グラフは思考の補助でしょ?何度も練習してたらグラフの何がポイントか掴んでいこうよ。それをせずに毎回毎回バカ丁寧にグラフを書く。そんなことしている暇あったらもう1問解けたんじゃないの?と。

あと二項定理やの三角関数の公式をいつまでたっても眺めながら代入して問題解いている人。いちいち見るの面倒くさくない?

こういうの毎回もっと楽にしようと工夫してますか?

してないからテストの前日に結局公式おぼえてなくて公式を書いて書いて丸暗記とか正気の沙汰とは思えない。

なんで反復しているときにいちいち見ちゃうの?見なくても書けるかどうか毎回チャレンジしてみたら良い。

めんどくさかったら毎回見なくても解けるようにしたほうが楽やんと。要はそういう意思をもって反復練習しているかどうかですよ。

「おぼえてないから見ながら解く」という人。中学のときに教科書見ながら理科の問題集の空欄埋めてませんでした?本当に覚える気ありますか?これは頭の中を通過せずに教科書とテキスト間で情報が移動しているだけ。覚えようとしてないのに覚えられるかいなと。

最終的にはきっちり最初から最後まで頭の中にそれが描けることが大前提でしょ。やっぱそれは意識してやっていかないといけない。

いつの間にやらというより積極的にサボってみようという意識が大事。

グラフを頭に描けるようになる感じ。

手順を省くのではなく、超高速化するイメージ。絶対に雑に解くのではない。

 

論理的に考えるが感覚で分かるに昇華される

これはすべての勉強で大切です。

どうしてもこういったグラフを描くとか、英語で言えば構造分析するとか、国語で言えば重要語句にマーキングするとかを目的化しちゃう人がいるんですよね。もっと簡単な例で言えば漢字の暗記の際に書く回数を目的化しちゃう人。

つねに考えましょう、それはなんのためにやってんの?「なぜ?」という感覚です。

数学でも勉強法でも「なぜ?」が大事。必要だからやっているんだよね?必要ないならやらんで良い。

ただ念のために最後にもう一度行っておきますね。

なんでグラフ書くのか考えよう。

英語でも同じ。英語の構造分析はするけどそれ関係なく和訳する人。構造分析をなぜするのか考えて。

古文はなぜ品詞分解をするのか?なんでしないといけないのか考えて。

 

 

とまぁ頑張って数学の勉強法について言語化してみました。やっぱり難しいなと(^_^;)

数学と現代文はほんと難しい。好きな科目なんでいっぱい書きたいんですけどね。ちゃんと伝わったか不安なので数学の勉強をしるための素晴らしいのを紹介しておきます。

 

数学ガールを読んでみよう。

数学を語るとき、これほど見事に言語化される方を私は知らないです。

数学ガールの結城先生ですね。数学を問いているときの頭の中の動きを言語化する達人。

高校生のみなさんが読んでみるなら秘密ノートかなと。こっちは高校数学の単元ごとになってますので無印よりも勉強しやすいかなと。

苦手な人が読むとそりゃ最初は拒否反応が出るのは仕方がないとは思うのですが、数学を考えることができる人の頭の中、理解して解けるという人の頭の中が覗けるんです。


一つ結城さんの最近のツイッターを引用させていただきましたが、これを読んでいただいても分かる通りツイッター(メルマガも)と数学ガールシリーズは数学を学ぶ者にとっても我々指導する者にとってもまさに宝箱だなと。至極の言葉が溢れています。

特に数学に悩む高校生からの質問に答えていらっしゃるものは必読です。過去ログ漁ってでも読んで欲しい。

これはやはりプログラマであり深い数学への造詣が深く、同時にライターとしての卓越した表現力が為せる技だとは思いますが、私はこれらを読んだおかげで初めて数学に対して言語化出来たようなことがたくさんあります。うまく言語化できないと指導できませんからね。数学のカリスマと呼ばれる方はみなさんこれが上手い。逆にあのおっさん何言っとるねんという人は思考はできても言語化できない人(笑)

みなさんもぜひ参考にしてみて下さい。

 

 

今日はこのへんで。

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